問題1 直角三角形と面積比
1. 問題
直角三角形ABCで、∠A=90°、AB=8 cm、AC=6 cmとする。辺BCに下ろしたAからの垂線の足をDとする。∠Aの二等分線とBCの交点をEとし、Eを通りACに平行な直線とABとの交点をFとする。ADとEFの交点をGとする。
(1) BDの長さを求めなさい。
(2) 三角形AFEの面積を求めなさい。
(3) 三角形DGEの面積を求めなさい。
斜辺に下ろした垂線の相似を使う。(2)(3)ではAを原点、ABをx軸に置く。 (1) ($\displaystyle \frac{32}{5}$) cm (2) ($\displaystyle \frac{288}{49}$) cm² (3) ($\displaystyle \frac{384}{1225}$) cm² $(BC=\sqrt{8^2+6^2}=10$)。相似から $(AB^2=BC\cdot BD$) より $(BD=32/5$)。 座標を $(A(0,0),B(8,0),C(0,6)$) と置くと、$(BC:3x+4y=24$)、$(AD:y=4x/3$)、角の二等分線は $(y=x$) である。したがって、$(D=(72/25,96/25),E=(24/7,24/7),F=(24/7,0),G=(24/7,32/7)$) となる。 三角形AFEは直角三角形であり、$(AF=EF=24/7$) だから、面積は $(\frac12\cdot\frac{24}{7}\cdot\frac{24}{7}=288/49$) cm²。三角形DGEは、底辺 $(GE=8/7$)、高さ $(24/7-72/25=96/175$) より、$(\frac12\cdot\frac87\cdot\frac{96}{175}=384/1225$) cm²。 角の二等分線定理で $(BE:EC=4:3$) を得て、相似な三角形の面積比を使ってもよい。面積は座標の行列式で検算できる。 相似、座標、面積比を役割分担させることがポイントである。長さを相似で求め、点の位置を座標で確定し、面積公式で仕上げる。 ヒントを見る
2. ヒント
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3. 解答
4. 詳細解説
5. 別解
6. この問題のポイント
図は説明用の概念図であり、長さの比を正確に表していない。
References
本問はオリジナル作成問題であり、外部資料は使用していない。