問題10 直方体の切断面と体積
1. 問題
$AB=8$ cm、$AD=6$ cm、$AE=6$ cmの直方体ABCD-EFGHを考える。Pを辺AB上の点とし、$AP=x$ cm（$0\le x\le8$）とする。Pを通り、線分PCおよび側辺AEに平行な直線を含む平面で直方体を切る。Pの真上の点をQとする。
(1) 切り口PCGQの面積を $S(x)$ として求めなさい。
(2) $S(x)=12\sqrt{13}$ となるxを求めなさい。
(3) (2)のとき、頂点Bを含む方の立体の体積を求めなさい。
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2. ヒント
切り口は長方形であり、一辺はPC、もう一辺は高さ6 cmである。底面でPCが切り取る三角形BPCに注目する。
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3. 解答
(1) $\displaystyle S(x)=6\sqrt{(8-x)^2+36}$
(2) $x=4$ cm
(3) 72 cm³
4. 詳細解説
底面で $PC^2=(8-x)^2+6^2$ だから、$PC=\sqrt{(8-x)^2+36}$。切り口PCGQは高さ6 cmの長方形なので、$S(x)=6PC$ である。
$6\sqrt{(8-x)^2+36}=12\sqrt{13}$ より、$(8-x)^2+36=52$。$0\le x\le8$ なので $8-x=4$、したがって $x=4$。
頂点Bを含む方の底面は三角形BPCである。$BP=4$、BC=6より、その面積は12 cm²。高さ6 cmの三角柱だから、体積は $12\cdot6=72$ cm³となる。
5. 別解
直方体に座標を置き、$P=(x,0,0),C=(8,6,0),Q=(x,0,6)$ として、ベクトルの長さからPCを求めてもよい。体積は全体288 cm³から反対側の三角柱を引いても確認できる。
6. この問題のポイント
平面で切った立体は、底面の分割を高さ方向へ延長したものとして考える。断面積は三平方の定理で、体積は底面積×高さで処理する。