問題11 直方体の対角断面と体積
1. 問題
$AB=8$ cm、$AD=6$ cm、$AE=5$ cmの直方体ABCD-EFGHを考える。Pを辺AB上の点とし、$AP=x$ cm（$0\le x\le8$）とする。P、Dを通り、側辺AEに平行な平面で直方体を切る。切り口の面積を $S(x)$ とする。
(1) $S(x)$ をxの式で表しなさい。
(2) $S(x)=40$ となるxを求めなさい。
(3) (2)のとき、頂点Aを含む方の立体の体積を求めなさい。
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2. ヒント
切り口は、底面の線分PDを高さ5 cmだけ平行移動した長方形である。底面では三角形ADPに注目する。
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3. 解答
(1) $\displaystyle S(x)=5\sqrt{x^2+36}$
(2) $x=2\sqrt7$ cm
(3) $30\sqrt7$ cm³
4. 詳細解説
底面の三角形ADPはAで直角であるから、$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{x^2+36}$ cm。切り口は一辺PD、もう一辺5 cmの長方形である。よって $S(x)=5\sqrt{x^2+36}$。
$S(x)=40$より、$5\sqrt{x^2+36}=40$。両辺を5で割って2乗すると、$x^2+36=64$。xは0以上であるから $x=2\sqrt7$。
頂点Aを含む方は、底面が直角三角形ADPで高さ5 cmの三角柱である。底面積は$\frac12\cdot6\cdot2\sqrt7=6\sqrt7$ cm²であるため、体積は$6\sqrt7\cdot5=30\sqrt7$ cm³となる。
5. 別解
座標を$A(0,0,0),P(x,0,0),D(0,6,0)$と置き、ベクトル$\overrightarrow{PD}=(-x,6,0)$の長さを用いてもよい。体積は直方体全体240 cm³から、反対側の三角柱を引いて検算できる。
6. この問題のポイント
空間の切断面を、底面の線分の長さと柱の高さへ分解する。三平方の定理で断面積を関数化し、同じ底面分割を体積計算へつなげる。