問題12 正四角すいの切断と表面積
1. 問題
底面が一辺12 cmの正方形、高さ8 cm、側面の高さ10 cmの正四角すいS-ABCDがある。頂点Sから底面の中心Oへ下ろした垂線SO上の点Pを通り、底面に平行な平面で切る。$OP=x$ cm（$0\le x\le8$）とする。底面側にできる台形状の立体の側面積を $L(x)$ とする。
(1) $L(x)$ をxの式で表しなさい。
(2) $L(x)=180$ となるxを求めなさい。
(3) (2)のとき、底面側にできる立体の体積を求めなさい。
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2. ヒント
頂点側の小正四角すいと元の正四角すいは相似である。元の側面積を先に求める。
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3. 解答
(1) $\displaystyle L(x)=240-\frac{15}{4}(8-x)^2$
(2) $x=4$ cm
(3) 336 cm³
4. 詳細解説
元の正四角すいの側面は、底辺12 cm、高さ10 cmの合同な三角形4枚である。したがって側面積は $4\times\frac12\times12\times10=240$ cm²。
頂点側の小正四角すいの相似比は $(8-x):8$ である。面積比はその2乗だから、小正四角すいの側面積は $240\left(\frac{8-x}{8}\right)^2=\frac{15}{4}(8-x)^2$。よって台形状の立体の側面積は、元の側面積からこれを引いた式となる。
$L(x)=180$より、$\frac{15}{4}(8-x)^2=60$。$(8-x)^2=16$かつ$0\le x\le8$なので、$x=4$。元の体積は384 cm³であり、頂点側の小正四角すいは相似比1/2、したがって体積比1/8である。小正四角すいの体積は48 cm³だから、底面側の体積は$384-48=336$ cm³となる。
5. 別解
(2)では、切り取られる小正四角すいの側面積が$240-180=60$ cm²である。元の側面積との比が1:4であるから、相似比は1:2、すなわち小正四角すいの高さは4 cmと分かる。
6. この問題のポイント
相似比を使うと、表面積も関数として扱える。長さ・面積・体積では相似比の指数が異なることを意識する。