問題13 円すいと円柱の体積関数
1. 問題
高さ12 cm、底面の半径6 cmの円すいの内部に、底面を共有する円柱を入れる。円柱の高さをx cm（$0\le x\le12$）とし、円柱の上面が円すいの側面に接するものとする。円柱の体積を $V(x)$ とする。
(1) 円柱の半径をxで表しなさい。
(2) $V(x)$ をxの式で表しなさい。
(3) $V(x)$ が最大となるxと、その最大値を求めなさい。
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2. ヒント
円すいの断面を考える。底面からx cm上がった位置での半径は、相似より $6-x/2$ となる。
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3. 解答
(1) $\displaystyle 6-\frac{x}{2}$ cm
(2) $\displaystyle V(x)=\pi x\left(6-\frac{x}{2}\right)^2$
(3) $x=4$ cm、$64\pi$ cm³
4. 詳細解説
底面からx cm上の円すいの半径は、相似から $6(12-x)/12=6-x/2$ cmである。よって円柱の体積は、$V(x)=\pi(6-x/2)^2x$。
$V(x)-64\pi=\frac{\pi}{4}(x-4)^2(x-16)$ と変形する。$0\le x\le12$ では $x-16<0$、かつ $(x-4)^2\ge0$ だから、$V(x)\le64\pi$ である。等号は $x=4$ のときに成り立つ。よって最大値は $64\pi$ cm³となる。
5. 別解
底面からの高さをx、半径をrとして $x+2r=12$ を得る。体積 $\pi r^2x$ を、和が一定の3数 $r,r,x/2$ の積とみなして最大条件を考えてもよい。
6. この問題のポイント
相似で半径を一次式にし、体積を三次式として最大化する。高難度問題では、立体を断面へ戻して変数間の関係を立てることが第一歩である。