問題14 立方体の三角形断面と四面体
1. 問題
一辺6 cmの立方体ABCD-EFGHについて、Pを辺AB上、Qを辺AD上、Rを辺AE上の点とする。$AP=AQ=AR=x$ cm（$0\le x\le6$）とする。平面PQRで頂点A付近を切り取る。
(1) 三角形PQRの面積を $S(x)$ として求めなさい。
(2) 四面体APQRの体積を $V(x)$ として求めなさい。
(3) $S(x)=18\sqrt3$ となるxを求め、そのときの四面体APQRの体積を求めなさい。
ヒントを見る
2. ヒント
P,Q,RはAから出る3本の互いに垂直な辺上にあり、$PQ=QR=RP$ である。
解答を見る
3. 解答
(1) $\displaystyle S(x)=\frac{\sqrt3}{2}x^2$
(2) $\displaystyle V(x)=\frac{x^3}{6}$
(3) $x=6$ cm、36 cm³
4. 詳細解説
$PQ=\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt2$ であり、同様に$QR=RP=x\sqrt2$。したがってPQRは一辺$x\sqrt2$の正三角形である。面積は $\frac{\sqrt3}{4}(x\sqrt2)^2=\frac{\sqrt3}{2}x^2$。
AP、AQ、ARは互いに垂直なので、四面体APQRの体積は $\frac16x\cdot x\cdot x=x^3/6$。$S(x)=18\sqrt3$ から $x^2=36$、範囲よりx=6。体積は $6^3/6=36$ cm³である。
5. 別解
座標を $A(0,0,0),P(x,0,0),Q(0,x,0),R(0,0,x)$ と置く。ベクトルの外積で三角形の面積を、行列式で四面体の体積を求めることもできる。
6. この問題のポイント
3本の直交する辺から切り取られる立体は、正三角形の断面と直三面体の体積公式へ帰着する。空間座標で捉えると、条件を見失いにくい。