問題15 球の断面と円すいの体積
1. 問題
半径5 cmの球の中心をOとする。Oから距離x cm（$0\le x\le5$）にある平面で球を切り、その切り口の円を底面、Oを頂点とする円すいを考える。その体積を $V(x)$ とする。
(1) 切り口の円の面積を $A(x)$ として求めなさい。
(2) $V(x)$ をxの式で表しなさい。
(3) $V(x)=16\pi$ となるxをすべて求めなさい。
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2. ヒント
切り口の半径をrとすると、直角三角形から $r^2+x^2=25$ が成り立つ。
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3. 解答
(1) $\displaystyle A(x)=\pi(25-x^2)$
(2) $\displaystyle V(x)=\frac{\pi}{3}x(25-x^2)$
(3) $\displaystyle x=3,\ \frac{\sqrt{73}-3}{2}$ cm
4. 詳細解説
切り口の半径をrとすると、$r^2+x^2=5^2$ より $r^2=25-x^2$。したがって面積は $A(x)=\pi r^2=\pi(25-x^2)$。円すいの高さはxなので、$V(x)=\frac13A(x)x$ となる。
$V(x)=16\pi$ より $x(25-x^2)=48$、すなわち $x^3-25x+48=0$。$x=3$ が解であるから、$(x-3)(x^2+3x-16)=0$。範囲内の解は $x=3$ と $x=(-3+\sqrt{73})/2$ である。
5. 別解
グラフ $y=x(25-x^2)$ を考える。x=0とx=5で0になり、途中で増加してから減少する三次関数なので、同じ体積を与える距離が2つあり得ることを、計算前に予想できる。
6. この問題のポイント
球の断面は三平方の定理で半径を決め、円すいの体積は三次関数として扱う。式を立てた後、解が範囲内にあるかを必ず確認する。