問題16 円の弦と交わる弦の定理
1. 問題
円O上に4点A、B、C、Dがあり、弦ACと弦BDが点Pで交わっている。
(1) $PA\cdot PC=PB\cdot PD$ であることを証明しなさい。
(2) $PA=3$ cm、$PC=8$ cm、$PB=4$ cmのとき、PDの長さを求めなさい。
(3) (1)で用いた相似な三角形を明記し、対応する角が等しい理由をそれぞれ説明しなさい。
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2. ヒント
三角形PABと三角形PDCに注目する。Pでできる対頂角と、同じ弦に対する円周角を使う。
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3. 解答
(1) $\triangle PAB\sim\triangle PDC$ より $PA:PD=PB:PC$。したがって $PA\cdot PC=PB\cdot PD$。
(2) $PD=6$ cm
(3) $\angle APB=\angle DPC$ は対頂角、$\angle PAB=\angle PDC$ は同じ弦CBに対する円周角である。
4. 詳細解説
PはAC上、BD上にあるため、$\angle APB$と$\angle DPC$は対頂角で等しい。また、$\angle PAB=\angle CAB$、$\angle PDC=\angle BDC$であり、いずれも弦CBに対する円周角だから等しい。よって2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle PAB\sim\triangle PDC$。
相似な図形の対応は、AとD、BとCである。したがって $PA/PD=PB/PC$ であり、内項と外項の積から $PA\cdot PC=PB\cdot PD$ を得る。(2)は $3\cdot8=4\cdot PD$ よりPD=6である。
5. 別解
$\triangle PAC$や$\triangle PBD$を直接比較しようとせず、交点Pを含む二つの小三角形を選ぶのが要点である。円周角の対応を先に図へ書き込むと、相似な組が見つけやすい。
6. この問題のポイント
円周角と対頂角を組み合わせて相似をつくる。長さの積の関係は、公式として暗記するよりも、相似の比から導けるようにしておく。