問題17 接弦定理と相似
1. 問題
円O上に異なる点A、B、Eがあり、点Aにおける接線を$\ell$とする。$\ell$上に点Dをとり、直線DBと円のもう一つの交点をEとする。
(1) $\triangle DAB\sim\triangle DAE$ であることを証明しなさい。
(2) $DA^2=DB\cdot DE$ であることを証明しなさい。
(3) $DA=6$ cm、$DB=4$ cmのとき、DEを求めなさい。
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2. ヒント
接線と弦ABのなす角は、弦ABに対する円周角に等しい。D、B、Eが一直線上であることも使う。
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3. 解答
(1) $\triangle DAB\sim\triangle DAE$
(2) $DA^2=DB\cdot DE$
(3) $DE=9$ cm
4. 詳細解説
接弦定理より、$\angle DAB=\angle AEB$。B、D、Eは一直線上にあるから、$\angle AEB=\angle AED$。よって$\angle DAB=\angle AED$。また$\angle ADB=\angle ADE$は、DBとDEが同一直線上にあるため等しい。したがって2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle DAB\sim\triangle DAE$。
対応はDがD、AがE、BがAである。よって $DA/DE=DB/DA$ となり、$DA^2=DB\cdot DE$ を得る。(3)では $36=4\cdot DE$ よりDE=9である。
5. 別解
接線から引いた線分の長さと、割線上の二つの長さの積の関係として処理することもできる。ただし、証明では接弦定理から相似をつくる過程を明記する。
6. この問題のポイント
接弦定理は、接線と弦の角を円周角へ置き換えるための道具である。相似の対応を正しく決めると、長さの積の等式が自然に出る。