問題18 内接円の接点と平行線
1. 問題
三角形ABCの内接円が辺AB、AC、BCにそれぞれD、E、Fで接している。Dを通りBCに平行な直線とACとの交点をPとする。
(1) $AB=AC$ ならば、$AP=AD$ であることを証明しなさい。
(2) 逆に、$AP=AD$ ならば、$AB=AC$ であることを証明しなさい。
(3) (1)(2)から、$AB=AC$ であるための必要十分条件を、APとADを用いて述べなさい。
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2. ヒント
同じ点から円に引いた接線の長さは等しい。DPがBCに平行なので、$\triangle ADP\sim\triangle ABC$ である。
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3. 解答
(1) $AP=AD$
(2) $AB=AC$
(3) $AB=AC$ であることと $AP=AD$ であることは同値である。
4. 詳細解説
内接円への接線の長さより、$AD=AE$。AB=ACなら、$AD/AB=AE/AC$ である。DP∥BCより $\triangle ADP\sim\triangle ABC$ だから、$AD/AB=AP/AC$。これらを比べると $AP=AE=AD$ となる。
逆にAP=ADとする。相似より $AD/AB=AP/AC$ だから、$AD/AB=AD/AC$。DはAと異なる点なのでADは0ではない。よって $AB=AC$。
以上より、三角形ABCが二等辺三角形であることは、$AP=AD$と同値である。
5. 別解
(1)では$AD=AE$を使った後、$AP=AE$を示すことを目標にすると流れが見える。逆では、相似比の分子が等しいことから分母の等しさを導く。
6. この問題のポイント
接線の等長性と平行線による相似を結び付け、必要十分条件を証明する。片方だけで終わらず、逆も示すことが重要である。