問題19 円に内接する台形の対角線
1. 問題
円に内接する台形ABCDで、$AB\parallel CD$ とする。対角線ACとBDの交点をPとする。
(1) $AD=BC$ であることを証明しなさい。
(2) $PA\cdot PC=PB\cdot PD$ であることを証明しなさい。
(3) $PA=4$ cm、PC=9$ cm、PB=6$ cmのとき、PDを求めなさい。
ヒントを見る
2. ヒント
(1)では、平行線から $\angle ABC$ と $\angle DAB$ の関係を導く。さらに弦ABに対する円周角を使って、相似な三角形を見つける。
解答を見る
3. 解答
(1) $AD=BC$
(2) $PA\cdot PC=PB\cdot PD$
(3) $PD=6$ cm
4. 詳細解説
AB∥CDより、同側内角について $\angle ABC+\angle BCD=180^\circ$ である。また、円に内接する四角形の性質から $\angle DAB+\angle BCD=180^\circ$。よって $\angle ABC=\angle DAB$。
さらに、$\angle ACB=\angle ADB$ は、どちらも弦ABに対する円周角である。したがって、$\triangle ABC\sim\triangle DAB$。この相似では辺ABが自分自身に対応するため、相似比は1である。よって対応する辺から $BC=AD$ を得る。
(2)は問題16と同様に、$\triangle PAB\sim\triangle PDC$を示せばよい。$\angle APB=\angle DPC$は対頂角、$\angle PAB=\angle PDC$は弦BCに対する円周角である。相似から $PA/PD=PB/PC$、よって積の関係を得る。(3)では $4\cdot9=6\cdot PD$ よりPD=6。
5. 別解
(1)は、円に内接する台形が二等辺台形になるという性質を使ってもよい。ただしその性質を使う場合は、底角が等しいことを円周角と平行線から説明する。
6. この問題のポイント
平行線、円周角、内接四角形の性質を連鎖させる。証明では、どの角が平行線から、どの角が円周角から得られたかを区別して書く。