問題2 放物線と動点
1. 問題
放物線 $(y=x^2-4x+3$) と直線 $y=8x+3$ の交点を、x座標の小さい順にA、Bとする。Oを原点とする。
(1) A、Bの座標を求めなさい。
(2) 三角形OABの面積を求めなさい。
(3) 線分ABの中点をPとする。Pを通りx軸に平行な直線と放物線との2つの交点を、x座標の小さい順にQ、Rとする。三角形APQと三角形APRの面積の差を求めなさい。
交点のx座標を求めるときは、2つの式を等しくします。放物線上で同じy座標をもつ2点は、軸 $x=2$ に関して対称です。水平線と放物線の2交点をともに求めます。 (1) $A=(0,3), B=(12,99)$ (2) $(18$) (3) $(240$) 交点では $(x^2-4x+3=8x+3$) より $(x(x-12)=0$)。Aのx座標は0、Bのx座標は12であり、直線の式からそれぞれのy座標は3、99となる。 三角形OABの面積は、座標の行列式から
$\frac{1}{2}|0\cdot99+0\cdot0+12\cdot3-0\cdot0-3\cdot12-99\cdot0|=18$である。 Pは $(6,51)$ である。水平線 $y=51$ と放物線の交点は $x^2-4x+3=51$、すなわち $(x-8)(x+6)=0$ より、$Q=(-6,51),R=(8,51)$ となる。$PQ=12$、$PR=2$、各三角形のAから直線 $y=51$ までの高さは48である。よって面積の差は $\frac12(12-2)\cdot48=240$ となる。 三角形OABは、底辺OAをy軸上の長さ3とみなし、Bからy軸までの距離12を使えば $3\times12/2=18$ と求められる。Q、Rは放物線の軸 $x=2$ に関して対称なので、x座標の和が4になることも方程式の解 $-6,8$ と一致する。 交点の処理、座標による面積、放物線の対称性を一連の流れで扱う問題である。特に、面積を計算する前に必要な点の座標を過不足なく決めることが重要である。 ヒントを見る
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6. この問題のポイント
References
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