問題20 立方体における平面の平行
1. 問題
立方体ABCD-EFGHにおいて、P、Q、Rをそれぞれ辺AB、AD、AEの中点とする。
(1) $PQ\parallel BD$ を証明しなさい。
(2) 平面PQRが平面BDEに平行であることを証明しなさい。
(3) 四面体APQRの体積は、四面体ABDEの体積の何倍か求めなさい。
ヒントを見る
2. ヒント
(1)は三角形ABDの中点連結定理を使う。(2)では、平面PQR内のPQ、PRに対応する平面BDE内の辺を探す。
解答を見る
3. 解答
(1) $PQ\parallel BD$
(2) 平面PQR$\parallel$平面BDE
(3) $\displaystyle \frac18$ 倍
4. 詳細解説
P、QはそれぞれAB、ADの中点である。したがって三角形ABDにおける中点連結定理より、$PQ\parallel BD$。同様に、P、Rは三角形ABEの2辺の中点なので$PR\parallel BE$。
直線PQとPRは平面PQR内でPで交わる。一方、BDとBEは平面BDE内でBで交わる。しかもPQ∥BD、PR∥BEである。したがって、2組の交わる直線がそれぞれ平行であるため、平面PQRは平面BDEに平行である。
四面体APQRと四面体ABDEは、頂点Aを共有し、対応する3本の辺の比が $AP:AB=AQ:AD=AR:AE=1:2$ である。相似比は1/2であるから、体積比は$(1/2)^3=1/8$。
5. 別解
座標を$A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,2)$と置くと、$P(1,0,0),Q(0,1,0),R(0,0,1)$となる。2つの平面の法線ベクトルが比例すること、体積が行列式の比で1/8となることを確認できる。
6. この問題のポイント
空間で平面の平行を示すには、各平面内の交わる2直線を対応させる。平面図形の中点連結定理を、空間の平面の位置関係へ拡張する。