3. 解答

(1) 26個

(2) 126

(3) 4個

4. 詳細解説

数字を3で割った余りで分類すると、余り0は${3,6}$、余り1は${1,4}$、余り2は${2,5}$である。3個の数字の和が3の倍数になる組は、各余りから1個ずつ選ぶ8組である。

各組について偶数を一の位に置き、残りを百・十の位に並べる。組${3,1,2}$、${3,4,2}$、${6,1,2}$、${6,4,5}$などを同様に数え、合計すると26個となる。0を含まないため、百の位についての追加除外はない。

(2) 3桁の数を小さい順に調べると、126は偶数で、数字の和9も3の倍数なので6の倍数である。百の位が1で一の位が偶数の候補のうち、これより小さいものは条件を満たさない。

(3) 百の位と一の位が$(1,6),(3,4),(5,2)$のいずれかである。一の位が偶数という条件も満たしている。各組で十の位を調べると、$(1,6)$では3、$(3,4)$では6、$(5,2)$では3または6となり、合計4個である。

5. 別解

3桁の整数を直接、百の位・十の位・一の位の順に樹形図で分類してもよい。ただし、6の倍数条件を「偶数条件」と「3の倍数条件」に分けると、重複なく短時間で数えられる。

6. この問題のポイント

倍数判定を場合の数に接続することが中心である。数字を選ぶ段階と並べる段階を分けて考えると、数え落としを防ぐことができる。