問題4　玉の交換と条件付き確率

1. 問題

袋Aには赤玉2個と白玉1個、袋Bには赤玉1個と白玉2個が入っている。Aから1個、Bから1個を同時に取り出して交換する操作を2回行う。各回とも、その時点の袋から無作為に1個を選ぶ。

(1) 1回目の操作後、袋Aの赤玉が2個である確率を求めなさい。

(2) 2回目の操作後、袋Aの赤玉が3個である確率を求めなさい。

(3) 2回目の操作後に袋Aの赤玉が3個であったとき、1回目の操作後も袋Aの赤玉が2個であった確率を求めなさい。

ヒントを見る

袋Aの赤玉数をXとする。Xが1増える確率、変わらない確率、1減る確率を、Xの値ごとに表にする。

解答を見る

(1) $\displaystyle \frac49$

(2) $\displaystyle \frac4{81}$

(3) 1

赤玉の総数は常に3個である。X=xのとき、Aから白、Bから赤を引いてXが増える確率は $(3-x)^2/9$、Xが減る確率は $x^2/9$ である。

初めはX=2なので、変わらない確率は $1-1/9-4/9=4/9$。これが(1)の答えである。

X=3になるには、1回目の後にX=2で、2回目にXが1増える必要がある。したがって確率は $\frac49\cdot\frac19=\frac4{81}$。X=3では袋Aがすべて赤、袋Bがすべて白なので、次の操作では必ずXが1減る。よって、2回目の後にX=3となる経路はこの1つだけである。

(3)の条件「2回目の後にX=3」は、必ず「1回目の後にX=2」を含むため、条件付き確率は1である。

樹形図を描き、X=2から始まる経路だけを残してもよい。最終的にX=3になる枝が1本しかないことを確認すれば、条件付き確率は直ちに1と分かる。

操作後の状態が次の確率を変えることに注意する。独立試行ではないため、毎回同じ確率を掛けるのではなく、状態ごとの確率を更新して考える。

本問はオリジナル作成問題であり、外部資料は使用していない。