問題5 立方体の空間図形
1. 問題
1辺6 cmの立方体ABCDEFGHについて、空間対角線AGとBHの交点をOとする。頂点の対応は、底面ABCD、上面EFGHとする。
(1) AGの長さを求めなさい。
(2) 三角形ABHの面積を求めなさい。
(3) 四面体ABDOの体積を求めなさい。
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2. ヒント
(1) 底面の対角線を求めてから、もう一度三平方の定理を使う。(2) ABとAHは直交する。(3) 三角形ABDを底面とし、Oから平面ABDまでの距離を考える。
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3. 解答
(1) $6\sqrt3$ cm
(2) $18\sqrt2$ cm²
(3) 18 cm³
4. 詳細解説
底面の対角線ACは $6\sqrt2$ cmなので、$AG=\sqrt{(6\sqrt2)^2+6^2}=6\sqrt3$ cmである。
座標を $A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),O(3,3,3)$ と置く。$AB\perp AD$ で、$AB=AD=6$ だから、$S_{ABD}=18$ cm²。平面ABDはz=0であり、Oからの距離は3 cmである。したがって、$V_{ABDO}=\frac13\cdot18\cdot3=18$ cm³となる。
また、$AH=(0,6,6)$ なので $AB\perp AH$、$AH=6\sqrt2$。よって、$S_{ABH}=\frac12\cdot6\cdot6\sqrt2=18\sqrt2$ cm²である。
5. 別解
ベクトルを使うと、$\overrightarrow{AB}=(6,0,0)$、$\overrightarrow{AD}=(0,6,0)$、$\overrightarrow{AO}=(3,3,3)$ である。四面体の体積は、これら3ベクトルの行列式の絶対値を6で割ることで $18$ cm³と求められる。
6. この問題のポイント
空間図形を座標化し、平面までの距離を高さとして使うことがポイントである。図の見た目だけで垂直関係を判断せず、座標やベクトルで確認することが重要である。
References
本問はオリジナル作成問題であり、外部資料は使用していない。