問題6 三角柱の断面積と傾き
1. 問題
座標平面上の (O(0,0),A(6,0),B(0,6)) を底面とし、高さ4 cmの直三角柱を考える。底面上の直線 (y=mx)（(m>0)）と辺ABの交点をPとする。この直線を含み、側辺に平行な平面で三角柱を切る。
(1) 断面の面積 (S) を (m) を用いて表しなさい。
(2) (S=12\sqrt2) となる (m) を求めなさい。
(3) (2)のとき、断面で分けられた頂点Oを含む方の立体の体積を求めなさい。
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2. ヒント
Pの座標を求める。断面はOPを1辺、高さ4をもう1辺とする長方形である。
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3. 解答
(1) (\displaystyle S=\frac{24\sqrt{1+m^2}}{1+m})
(2) (m=1)
(3) 36 cm³
4. 詳細解説
辺ABは (x+y=6) であるから、(P\left(\frac6{1+m},\frac{6m}{1+m}\right))。よって [ OP=\sqrt{\left(\frac6{1+m}\right)^2+\left(\frac{6m}{1+m}\right)^2}=\frac{6\sqrt{1+m^2}}{1+m}. ] 断面は高さ4 cmの長方形なので、(S=4OP) となる。
(S=12\sqrt2) を代入すると、(2\sqrt{1+m^2}=\sqrt2(1+m))。両辺を2乗して ((m-1)^2=0) より (m=1)。このとき (P=(3,3)) で、頂点Oを含む方の底面は三角形OAPとなる。その面積は9 cm²であり、高さ4 cmを掛けて、求める体積は36 cm³である。
5. 別解
(2)は (m) と (1/m) が同じ断面積を与える対称性に着目してもよい。(m=1) では直線が直角二等辺三角形OABを面積が等しい二つの部分に分ける。
6. この問題のポイント
平面図形上の直線の傾きが、空間の断面積を決める。底面での長さを先に関数化し、それを柱の高さへ掛けるのが基本方針である。