問題7 円すいの相似と三次関数
1. 問題
高さ12 cm、底面の半径6 cmの円すいがある。頂点から母線ではなく軸に沿って $x$ cmの位置で、軸に垂直な平面で切る。ただし $0\le x\le12$ とする。
(1) 切り口の面積を $A(x)$ とするとき、$A(x)$ を求めなさい。
(2) 頂点側にできる小円すいの体積を $V(x)$ とするとき、$V(x)$ を求めなさい。
(3) $V(x)=18\pi$ となる $x$ を求めなさい。また、この小円すいの体積は元の円すいの体積の何倍か答えなさい。
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2. ヒント
切り口の半径をrとする。小円すいと元の円すいは相似で、$r:x=6:12$ である。
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3. 解答
(1) $\displaystyle A(x)=\frac{\pi x^2}{4}$
(2) $\displaystyle V(x)=\frac{\pi x^3}{12}$
(3) $x=6$ cm、$\displaystyle \frac18$
4. 詳細解説
相似より $r=x/2$。したがって $A(x)=\pi r^2=\pi x^2/4$。さらに小円すいの高さはxだから、$V(x)=\frac13A(x)x=\pi x^3/12$ となる。
$\pi x^3/12=18\pi$ より $x^3=216$、したがって $x=6$。元の円すいの体積は $\frac13\pi\cdot6^2\cdot12=144\pi$ であるから、比は $18\pi/144\pi=1/8$ である。
5. 別解
相似比が $x:12$ であることから、体積比は $(x/12)^3$ と直接おける。$x=6$ では相似比が1/2なので、体積比は $(1/2)^3=1/8$。
6. この問題のポイント
長さは一次、面積は二次、体積は三次で変化する。相似比を立体の体積へつなげる視点が重要である。