問題8 正四角すいの切断と体積
1. 問題
底面が一辺12 cmの正方形、高さが8 cmの正四角すいS-ABCDがある。頂点Sから底面の中心Oへ下ろした垂線SO上に点Pをとり、$OP=x$ cmとする。Pを通り底面に平行な平面で切る。ただし $0\le x\le8$ とする。
(1) 切り口の正方形の面積を $A(x)$ として求めなさい。
(2) $A(x)=36$ となる $x$ を求めなさい。
(3) (2)のとき、切り口より底面側の立体の体積を求めなさい。
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2. ヒント
頂点側の小正四角すいと元の正四角すいは相似である。小正四角すいの高さは $8-x$ cmである。
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3. 解答
(1) $\displaystyle A(x)=\left(12-\frac32x\right)^2$
(2) $x=4$ cm
(3) 336 cm³
4. 詳細解説
頂点側の小正四角すいの相似比は $(8-x):8$。切り口の一辺は $12\cdot(8-x)/8=12-3x/2$ だから、面積はその2乗である。
$(12-3x/2)^2=36$ より、長さは正なので $12-3x/2=6$。したがって $x=4$。元の体積は $\frac13\cdot12^2\cdot8=384$ cm³。頂点側の小正四角すいは、底面積36、高さ4より体積48 cm³。よって底面側の体積は $384-48=336$ cm³。
5. 別解
相似比が1/2であることから、頂点側の小正四角すいの体積は元の体積の $1/2^3=1/8$、すなわち48 cm³と直ちに求められる。
6. この問題のポイント
平行な切断面は相似な立体をつくる。切り口の面積は二次式、頂点側の体積は三次式として捉えると、立体の変化を整理しやすい。