問題9 立方体の断面積と場合分け
1. 問題
一辺6 cmの立方体ABCD-EFGHを考える。底面ABCDを $A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6)$ とみなし、Pを対角線AC上の点とする。$AP=x$ cm（$0\le x\le6\sqrt2$）とする。Pを通りACに垂直で、かつ側辺AEに平行な平面で立方体を切る。断面積を $S(x)$ とする。
(1) $S(x)$ をxの式で表しなさい。
(2) $S(x)$ が最大となるxと最大値を求めなさい。
(3) $S(x)=36$ となるxをすべて求めなさい。
ヒントを見る
2. ヒント
Pの座標を $(t,t)$ とおくと $x=\sqrt2t$。底面での切り口の長さは、$t=3$ を境に変化する。
解答を見る
3. 解答
(1) $\displaystyle S(x)=\begin{cases}12x&(0\le x\le3\sqrt2)\72\sqrt2-12x&(3\sqrt2\le x\le6\sqrt2)\end{cases}$
(2) $x=3\sqrt2$ cm、$36\sqrt2$ cm²
(3) $x=3,\ 6\sqrt2-3$ cm
4. 詳細解説
$P=(t,t)$ とすると、底面の切り口は $X+Y=2t$ 上の線分である。$0\le t\le3$ ではその長さは $2\sqrt2t$、$3\le t\le6$ では $2\sqrt2(6-t)$。断面は高さ6の長方形である。
$x=\sqrt2t$ を代入すると、前半では $S=6\cdot2\sqrt2t=12x$、後半では $S=6\cdot2\sqrt2(6-t)=72\sqrt2-12x$。二つの直線は $x=3\sqrt2$ で交わるため、そこで最大値 $36\sqrt2$ をとる。
$S=36$ をそれぞれの式に代入すると、$x=3$、$x=6\sqrt2-3$ を得る。
5. 別解
底面の正方形を対角線ACで二つの合同な直角二等辺三角形に分け、切り口の長さが増加から減少へ切り替わる位置が中心 $(3,3)$ であることを図形的に確認してもよい。
6. この問題のポイント
空間の断面積が、位置によって場合分けされた一次関数になる。断面の形を底面の切り口と柱の高さへ分解し、変化点を見つけることが核心である。